ピアノの調律の時期はいつ頃がベストですか？　やっぱり梅雨はさけたほうがいいんでしょうか？

調律にベストな時期は基本的にはありません。
梅雨は湿気が多いからと懸念されるお客様も多く見受けられますが、外装を外しても外さなくても湿気を含む量は変わらないので特別避ける必要はないと思われます。

ピアノを弾いてなくても調律は毎年しないといけないものなのですか？

はい、毎年するのがいいですね。
性質の欄でもご紹介したとおりピアノの弦は1本当たり約９０ｋｇ全体で約２０ｔもの力で金属製の弦を張っているのでたとえピアノを弾いてなくてもピアノの音は自然と下がっていくのです。